Alexander wuchs in Sendenhorst bei Münster auf und sang bereits als Jugendlicher in der Big Band seines Gymnasiums in Münster. Sein Fernsehdebüt hatte der Sänger dann bereits mit zehn Jahren in der Mini Playback Show mit Marijke Amado. Dort trat er mit dem Song "What is love!" von Haddaway auf. Zehn Jahre später siegte er bei der ersten Staffel von "Deutschland sucht den Superstar" und erhielt einen Plattenvertrag von Sony BMG. Seine Debütsingle "Take me tonight" erreichte Platz 1 der deutschen Charts und verkaufte sich über eine Million Mal. Auch "Free like the wind", geschrieben von Dieter Bohlen, erreichte Platinstatus. Die Alben "Take your chance" und "Here I am" schafften es ebenfalls an die Spitze der Verkaufscharts und hielten sich dort mehrere Wochen.

Doch Alexander ruhte sich nicht auf seinen Erfolgen aus, sondern absolvierte ein Gesangs- Tanz- und Schauspielstudium an der renommierten "Joop van den Ende Academy" in Hamburg. Von Dezember 2006 bis März 2008 spielte Alexander in Berlin im Musical "Tanz der Vampire" von Roman Polanski die Hauptrolle des Alfred. Anfang 2006 veröffentlichte er sein drittes Album "Attention!". Zwei Jahre später erschien dann sein erstes deutschsprachiges Album "Was willst du noch?!".

Von 2008 bis 2010 spielte Alexander Klaws den Lars Hauschke in der Sat.1-Telenovela "Anna und die Liebe" – seine erste Fernsehrolle. Danach war er über drei Jahre als "Tarzan" (mit der Musik von Phil Collins) im gleichnamigen Musical an der Neuen Flora in Hamburg zu sehen. Dort lernte er auch seine heutige Lebensgefährtin Nadja Scheiwiller kennen.

2011 veröffentlichte Alexander sein zweites deutschsprachiges Album "Für alle Zeiten".

Seit Juni 2013 moderierte Alexander Klaws mehrere Folgen der Musiksendung "Goldschlager – Die Hits der Stars" bei Sat.1 Gold. Außerdem spielte er 2013 im Musical "Der Schuh des Manitu" auf der Freilichtbühne Tecklenburg den "Ranger" – im Sommer 2014 spielte er dort im Musical "Joseph and the amazin technicolour dreamcoat" die Hauptrolle. Alexander gewann in diesem Jahr mit seiner Tanzpartnerin Isabell Edvardsson die 7. Staffel von „Let’s Dance“ (RTL) und ist damit "Dancing Star 2014". Ab 19. Oktober 2014 spielt er die Hauptrolle im Musical "Jesus Christ Superstar" am Theater Dortmund. Gerade arbeitet Alexander an einem neuen Studioalbum.

Alexander sagt von sich selbst, dass er kein Spitzenkoch ist, aber sehr gut nachkochen kann, wenn es ihm jemand gut erklärt. Er liebt Steak, macht aber um Seafood einen großen Bogen. 2008 gewann er gegen Pete Dwojak, Anita Kupsch und Tanja Wenzel bei "Das perfekte Promi Dinner".

Der 31-Jährige ist Projektpate der Initiative "Der Hamburger Weg". Hier werden Hamburger Kinder und Jugendliche finanziell unterstützt, damit sie in einem Verein Sport treiben können. Dort arbeitet der Sänger und Musiker selbst in verschiedenen Workshops mit den Jugendlichen und setzt sich für deren soziale Integration ein.